Kettős állampolgárságú gyermek

Tisztelt Címzett! Az alábbi kérdésben kérem a segítséget! Van egy család: apa magyar állampolgár, állandó lakcím Magyarország, Ausztriában nincs. Itt társas és egyéni vállalkozó is, és munkaviszonya is van. Anya osztrák állampolgár, állandó lakcím Ausztria, ideiglenes sincs Magyarországon. Biztosítása nincs Ausztriában, az a gyermek születésekor megszűnt, előtte Ausztriában volt munkavállaló. Gyermek: 6 hónapos, osztrák-magyar kettős állampolgár, állandó lakcím Ausztria, ideiglenes lakcíme Magyarországon. Családi pótlékot az édesanya kapja Ausztriában. A gyermek biztosított-e Magyarországon, vagy szerezhet-e biztosítást? Kórházi ellátásra volt szüksége, és az osztrák kórház 1800 eurós számlát fizettetett ki arra hivatkozva, hogy a gyermeknek egyik országban sincs biztosítása. Mit kell az édesapának tennie ahhoz, hogy az életvitelszerűen Magyarországon élő család gyermek tagja Magyarországon rendelkezzék biztosítással? Igényelhet-e az édesapa gyedet a fentiekre tekintettel, és ha igen, melyik jogviszonyában? A munkaviszonyában magas jövedelemmel rendelkezik, az alapján is kimerítené a gyed egy napra eső maximális összegét számításaim szerint. Amennyiben nem, társas vállalkozóként is benyújtható a gyedigény (ha egyébként jogosult a gyedre)? Az édesanyának amennyiben bejelentenék a Magyarországon a lakcímét, jogosult lenne-e itt egészségügyi ellátásra? Segítségüket előre is köszönöm!