Gyermek betegsége estén szülő táppénzjogosultsága megbízási jogviszony esetében

Közalkalmazott betegségének időtartamára megbízási jogviszony létesült a dolgozóval 2021. szeptember 1-jétől. 3 ledolgozott munkanap után bejelentette 2021. szeptember 6-án, hogy gyermeke betegsége miatt nem tudja ellátni feladatát. Időközben a közalkalmazott keresőképes lett 2021. szeptember 13-ától, ezért a megbízási jogviszonyt meg kell szüntetnünk 2021. szeptember 10-én (3-án vagy legkésőbb 12-én)? A szülő mai napon történt jelzése alapján a gyermek még szeptember 13-a után is beteg. Kérdésünk, hogy a 3 ledolgozott nap után jogosult-e táppénzellátásra, mivel ismereteink szerint az utolsó munkában töltött nap 2017. évben volt. Ha jogosult táppénzellátására, ebben az esetben a Magyar Államkincstárhoz kell a táppénzes igazolást benyújtani, vagy ebben az esetben ki az illetékes eljáró szerv?