Felmondás gyesről visszatérő kismamának

Tisztelt Szakértő! A munkavállaló első gyermekével otthon volt gyeden, és időközben derült ki, amikor az első gyermek után lejárt a gyed, és meg kellett igényelni a második gyermek után a munkavállalónak a gyedet, hogy van második gyermek. Most a második gyermekkel van otthon gyesen. Olyan kérdésem lenne, hogy 2015. 05. 31-ével betöltötte a gyesen lévő munkavállalónknak a gyermeke a 3. életévét, tehát 2015. 05. 31-éig gyesen volt. 2015. 06. 01-jétól újra jogosult a gyesre beteg gyermeke után. Kérdésem: ebben az esetben is jár a felmondási védelem, vagy az megszűnt a gyermek 3. életévének betöltésével? Indíthat munkaügyi pert a munkavállaló ilyen esetben ha felmondanak neki, a munkáltató ellen? Továbbá vállalhat a gyesen lévő munkavállaló máshol munkát úgy, hogy a jelenlegi munkáltatóját nem tájékoztatja róla, és oda nem hajlandó visszatérni dolgozni, mert továbbra is gyesen maradt a már fent leírt körülmények között? Megtisztelő segítségét előre is köszönöm!