Határozott idejű munkaszerződés

Tisztelt Szakértő! A társaság határozott idejű munkaszerződésben áll a munkavállalóval, amelyet határozatlan idejűre szeretnének módosítani. Szabályos eljárás, ha az eredeti szerződést módosítják e tekintetben, vagy új munkaszerződést kell készíteni? Van olyan információm, hogy ha a határozott munkaszerződés lejártát követően a munkavállaló dolgozik, akkor azzal határozatlanná válik a munkaviszony. Ez így van-e? Ha igen, milyen adminisztráció szükséges? Szerződésmódosítás vagy új szerződés? Egyáltalán le kell-e rögzíteni ezt a körülményt, hogy ilyen módon vált a határozott idejű munkaviszony határozatlanná? Válaszukat köszönöm!