Gyed melletti jogviszony mikor összeférhetetlen?

2016. november 14-e óta dolgozom a Musashi Hungary Kft.-nél mint HR-munkatárs. 2018. február óta vagyok itthon. Ez idő alatt 3 gyermekem született. A legkisebb 10 hónapos. A jelenlegi gazdasági helyzet miatt úgy döntött sajnos a család, hogy vissza kell mennem dolgozni. Amennyire utánaolvastam lehetséges a gyed melletti jogviszony. Én Székesfehérváron élek, és az eddigi munkahelyem Ercsiben van, autóalkatrészek gyártásával foglalkozik. Ide nem terveztem visszamenni egyelőre, mert napi 2×1 óra az utazás. Ez 3 kisgyerek mellett most kivitelezhetetlen. Itt Fehérváron helyben találtam egy toborzó munkakört az Arconic-nál. A jelenlegi és az új munkahelyemen is jeleztem hogy gyed mellett fogok dolgozni. A "régi" munkáltatóm, a Musashi azt mondta zárjam ott le a munkaviszonyom, mert összeférhetetlenség van, hogy toborzó munkakörbe megyek el dolgozni. November 14-en kellene kezdenem az új helyemen. Egyelőre gyed mellett szeretnék dolgozni. Ki tudja mennyit lesznek betegek a gyerekek, hogy sikerül helyt állnom? Meg mivel a törvény engedi nem szeretnék felmondani, viszont a régi munkáltatóm ezt szeretné. Ennyit irt, ez összeférhetetlenség. Semmi több. A munkaszerződésemben ezt találtam csak ami érdekes lehet. Ha cég gazdasági érdekeit sértem, akkor felmondhat. De úgy gondolom a 2 cég nem versenytárs. Ezt honnan tudom biztosra? A régi cégem járműalkatrészek gyártására van bejegyezve, az új pedig alumíniumgyártás. Jogilag kirúghatnak ezért a Musashiból? Mit tehetek jogilag?